5．假设二元可微函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\mathrm{d} z=\left(x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} x+2 x \mathrm{~d} y$ ，那么 $f_{x}^{\prime}(1,1)=$ $\_\_\_\_$
理解全微分与偏导数的关系
全微分公式为 dz = f_x dx + f_y dy，因此题目中 dx 的系数即为 f_x(x,y) = x^2 + 2y。
代入点 (1,1) 求值
将 x=1, y=1 代入 f_x(x,y) = x^2 + 2y，得 f_x(1,1) = 1^2 + 2×1 = 3。