6． $\displaystyle{\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{\sin (x y)}{x}=}$ $\_\_\_\_$ ．
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{\sin (x y)}{x}$
令 $u = xy$，当 $(x, y) \rightarrow (0,2)$ 时，$u \rightarrow 0$。因此，原极限可以表示为：
$$\lim_{(x, y) \rightarrow (0,2)} \frac{\sin(xy)}{x} = \lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin u}{u} \cdot y = 1 \cdot 2 = 2$$
求积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$
已知 $\int f(x) \mathrm{d} x = x \sin x + C$，因此 $f(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(x \sin x + C) = \sin x + x \cos x$。于是：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x = \left. x \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \cdot 1 - 0 = \frac{\pi}{2}$$
求偏导数 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$
对 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 两边关于 $x$ 求偏导，得：
$$2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$$
在点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 处：
$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
求二重积分 $\iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
由于 $f(x, y)$ 在 $y$ 固定时关于 $x$ 为偶函数，且 $D_1$ 关于 $y$ 轴对称，因此：
$$\iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y = 2 \iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$
已知 $\iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y = 4$，所以：
$$\iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y = \frac{4}{2} = 2$$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}$ 的和函数
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n} = \ln(1+x)$，对其求导得：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \ln(1+x) = \frac{1}{1+x} = \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}$$
因此，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}$ 的和函数为 $\frac{1}{1+x}$。