2． $\displaystyle{\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心 1 为半径的圆盘 $\left(x^{2}+y^{2} \leq 1\right)$
确定积分区域与坐标系选择
积分区域D是圆心在原点、半径为1的圆盘，被积函数为√(x²+y²)，适合使用极坐标变换。令x = r cosθ, y = r sinθ，则x²+y² = r²，√(x²+y²) = r，面积元dxdy = r dr dθ。
确定积分限
在极坐标下，r从0到1，θ从0到2π。
写出极坐标下的二重积分
原积分化为：∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^{1} r * r dr dθ = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{1} r² dr。
计算内层积分
先对r积分：∫_{0}^{1} r² dr = [r³/3]_{0}^{1} = 1/3。
计算外层积分
再对θ积分：∫_{0}^{2π} (1/3) dθ = (1/3) * 2π = 2π/3。
得出最终结果
因此，原二重积分的值为 2π/3。