1．计算由曲线 $y=\operatorname { s i n } x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=\frac{\pi}{2}$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．
确定积分公式
由曲线 y = f(x) (a ≤ x ≤ b) 绕 x 轴旋转所得旋转体体积公式为 V = π ∫_a^b [f(x)]^2 dx。本题中 f(x) = sin x，a = 0，b = π/2。
写出体积积分表达式
V = π ∫_0^(π/2) sin^2 x dx
利用三角恒等式化简被积函数
利用 sin^2 x = (1 - cos 2x)/2，则 V = π ∫_0^(π/2) (1 - cos 2x)/2 dx = (π/2) ∫_0^(π/2) (1 - cos 2x) dx
计算定积分
∫_0^(π/2) (1 - cos 2x) dx = [x - (1/2) sin 2x]_0^(π/2) = (π/2 - 0) - (0 - 0) = π/2
得出体积结果
V = (π/2) × (π/2) = π^2/4