对 $z$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数： $z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2x - y - 2$ $z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -x + 2y + 1$

令 $z_x = 0$ 且 $z_y = 0$，解方程组： $\begin{cases} 2x - y - 2 = 0 \\ -x + 2y + 1 = 0 \end{cases}$ 由第一式得 $y = 2x - 2$，代入第二式： $-x + 2(2x - 2) + 1 = 0 \Rightarrow -x + 4x - 4 + 1 = 0 \Rightarrow 3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$ 代入 $y = 2\cdot1 - 2 = 0$，得驻点 $(1, 0)$。

计算二阶偏导数： $z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2$ $z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2$ $z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -1$

在驻点 $(1,0)$ 处，计算判别式 $\Delta = z_{xx}z_{yy} - (z_{xy})^2 = 2 \times 2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0$，且 $z_{xx} = 2 > 0$，故该点为极小值点。

将 $(1,0)$ 代入原函数： $z(1,0) = 1^2 - 1\cdot0 + 0^2 - 2\cdot1 + 0 = 1 - 0 + 0 - 2 + 0 = -1$ 因此极小值为 $-1$。