计算 $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ 和 $\int_{0}^{1} x^{3} d x$： $$\int_{0}^{1} x^{2} d x = \left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$ $$\int_{0}^{1} x^{3} d x = \left. \frac{x^{4}}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}$$ 比较 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$，显然 $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$。因此，选项A错误，选项B正确。

计算 $\int_{1}^{2} x^{2} d x$ 和 $\int_{1}^{2} x^{3} d x$： $$\int_{1}^{2} x^{2} d x = \left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$ $$\int_{1}^{2} x^{3} d x = \left. \frac{x^{4}}{4} \right|_{1}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$ 比较 $\frac{15}{4}$ 和 $\frac{7}{3}$，$\frac{15}{4} \approx 3.75$，$\frac{7}{3} \approx 2.333$，因此 $\frac{15}{4} > \frac{7}{3}$，选项C错误。 计算 $\int_{1}^{2} x d x$： $$\int_{1}^{2} x d x = \left. \frac{x^{2}}{2} \right|_{1}^{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ 比较 $\frac{3}{2}$ 和 $\frac{7}{3}$，$\frac{3}{2} = 1.5$，$\frac{7}{3} \approx 2.333$，因此 $\frac{3}{2} < \frac{7}{3}$，选项D错误。

根据微积分基本定理，$\frac{d y}{d x} = (x-1)^{2}(x+2)$。 当 $x=0$ 时： $$\left. \frac{d y}{d x} \right|_{x=0} = (0-1)^{2}(0+2) = 1 \times 2 = 2$$ 因此，正确答案是D。

微分方程为 $y' + x y = e^{-\frac{x^{2}}{2}}$。 验证选项A：$y = e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 计算导数： $$y' = -x e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$ 代入方程： $$-x e^{-\frac{x^{2}}{2}} + x e^{-\frac{x^{2}}{2}} = 0 \neq e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$ 选项A错误。 验证选项B：$y = x e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 计算导数： $$y' = e^{-\frac{x^{2}}{2}} - x^{2} e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$ 代入方程： $$e^{-\frac{x^{2}}{2}} - x^{2} e^{-\frac{x^{2}}{2}} + x^{2} e^{-\frac{x^{2}}{2}} = e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$ 等式成立，选项B正确。 验证选项C和D： 类似地，可以验证选项C和D不满足微分方程，因此错误。