2．假设 $\displaystyle{y=\int_{0}^{x}(t-1)^{2}(t+2) d t}$ ，则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$ ．
计算导数
根据微积分基本定理，若 $y = \int_{0}^{x} f(t) dt$，则 $\frac{dy}{dx} = f(x)$。因此，对于 $y = \int_{0}^{x} (t-1)^2(t+2) dt$，有 $\frac{dy}{dx} = (x-1)^2(x+2)$。
求导数值
计算 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}$：$\frac{dy}{dx}\big|_{x=0} = (0-1)^2(0+2) = 1 \times 2 = 2$。因此，正确答案是 D。
分析微分方程的解
题目给出微分方程 $y' + x y = e^{-\frac{x^2}{2}}$。我们需要验证哪个选项满足这个方程。
验证选项A
选项A：$y = e^{-\frac{x^2}{2}}$。计算导数：$y' = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$。代入方程：$-x e^{-\frac{x^2}{2}} + x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0 \neq e^{-\frac{x^2}{2}}$。因此，A错误。
验证选项B
选项B：$y = x e^{-\frac{x^2}{2}}$。计算导数：$y' = e^{-\frac{x^2}{2}} - x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}$。代入方程：$e^{-\frac{x^2}{2}} - x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} = e^{-\frac{x^2}{2}}$。等式成立，因此B正确。
验证选项C
选项C：$y = e^{\frac{x^2}{2}}$。计算导数：$y' = x e^{\frac{x^2}{2}}$。代入方程：$x e^{\frac{x^2}{2}} + x e^{\frac{x^2}{2}} = 2x e^{\frac{x^2}{2}} \neq e^{-\frac{x^2}{2}}$。因此，C错误。
验证选项D
选项D：$y = x e^{\frac{x^2}{2}}$。计算导数：$y' = e^{\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{\frac{x^2}{2}}$。代入方程：$e^{\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{\frac{x^2}{2}} = e^{\frac{x^2}{2}} + 2x^2 e^{\frac{x^2}{2}} \neq e^{-\frac{x^2}{2}}$。因此，D错误。
总结
对于第一题，正确答案是 D。对于第二题，正确答案是 B。