3．下列选项中，是微分方程 $y^{\prime}+x y=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 的解的是 ．
A $y=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$
B $y=x e^{-\frac{x^{2}}{2}}$
C $y=e^{\frac{x^{2}}{2}}$
D $y=x e^{\frac{x^{2}}{2}}$
写出微分方程并明确验证方法
给定微分方程 y' + xy = e^{-x^2/2}。要判断哪个选项是解，只需将各选项的 y 代入方程，验证是否恒成立。
验证选项A
y = e^{-x^2/2}，则 y' = -x e^{-x^2/2}。代入左边：y' + xy = -x e^{-x^2/2} + x e^{-x^2/2} = 0，右边为 e^{-x^2/2}，0 ≠ e^{-x^2/2}，故A不是解。
验证选项B
y = x e^{-x^2/2}，则 y' = e^{-x^2/2} + x·(-x e^{-x^2/2}) = e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2}。代入左边：y' + xy = (e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2}) + x·(x e^{-x^2/2}) = e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2} + x^2 e^{-x^2/2} = e^{-x^2/2}，右边也是 e^{-x^2/2}，故B是解。
验证选项C
y = e^{x^2/2}，则 y' = x e^{x^2/2}。代入左边：y' + xy = x e^{x^2/2} + x e^{x^2/2} = 2x e^{x^2/2}，右边为 e^{-x^2/2}，显然不相等，故C不是解。
验证选项D
y = x e^{x^2/2}，则 y' = e^{x^2/2} + x·(x e^{x^2/2}) = e^{x^2/2} + x^2 e^{x^2/2}。代入左边：y' + xy = (e^{x^2/2} + x^2 e^{x^2/2}) + x·(x e^{x^2/2}) = e^{x^2/2} + x^2 e^{x^2/2} + x^2 e^{x^2/2} = e^{x^2/2} + 2x^2 e^{x^2/2}，右边为 e^{-x^2/2}，不相等，故D不是解。
得出结论
只有选项B满足微分方程，因此正确答案是B。