题目给出了一个函数 $f(x) = \int_{0}^{x^{2}} \sin t \, dt$，要求我们求它的导数 $f'(x)$。此外，题目还给出了一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，要求我们求 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$。

根据微积分基本定理，如果 $F(x) = \int_{a}^{g(x)} h(t) \, dt$，那么 $F'(x) = h(g(x)) \cdot g'(x)$。这里 $f(x) = \int_{0}^{x^{2}} \sin t \, dt$，所以 $f'(x) = \sin(x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = \sin(x^{2}) \cdot 2x$。

根据级数收敛的必要条件，如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，那么 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$。

对于第一问，$f'(x) = 2x \sin(x^{2})$。对于第二问，$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$。