给定函数 $z = xy$，首先计算其全微分 $dz$。\n全微分的定义为 $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$。\n计算偏导数：\n$\frac{\partial z}{\partial x} = y$，\n$\frac{\partial z}{\partial y} = x$。\n因此，全微分为 $dz = y dx + x dy$。

将点 $(1,2)$ 代入全微分表达式：\n$dz|_{(1,2)} = 2 dx + 1 dy$。

给定方程 $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$。\n对方程两边关于 $x$ 求偏导：\n$2x + 0 + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$。\n解得 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$。

将点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 代入偏导数表达式：\n$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1$。

给定 $f(x)$ 是区间 $[-a, a]$ 上的连续奇函数，即 $f(-x) = -f(x)$。\n积分 $\int_{-a}^{a} f(x) dx$ 可以拆分为 $\int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx$。\n在第一个积分中，令 $u = -x$，则 $du = -dx$，积分变为 $\int_{a}^{0} f(-u) (-du) = \int_{0}^{a} -f(u) du = -\int_{0}^{a} f(u) du$。\n因此，整个积分为 $-\int_{0}^{a} f(u) du + \int_{0}^{a} f(x) dx = 0$。

给定区域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\}$，即单位圆。\n计算二重积分 $\iint_{D} 2 dx dy$。\n由于被积函数为常数 2，积分结果为 2 乘以区域 $D$ 的面积。\n单位圆的面积为 $\pi$，因此积分结果为 $2 \times \pi = 2\pi$。

给定函数 $z = (x-1)g(y) + (y-1)h(x)$，其中 $g(y)$ 和 $h(x)$ 连续。\n求 $f_x'(1,1)$，即 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 在 $(1,1)$ 处的值。\n计算偏导数：\n$\frac{\partial z}{\partial x} = g(y) + (y-1)h'(x)$。\n在点 $(1,1)$ 处：\n$\frac{\partial z}{\partial x}|_{(1,1)} = g(1) + (1-1)h'(1) = g(1) + 0 = g(1)$。

给定微分方程 $y'' + y' + a y = 0$，且 $y = e^{2x}$ 是其解。\n首先计算 $y'$ 和 $y''$：\n$y' = 2 e^{2x}$，\n$y'' = 4 e^{2x}$。\n将 $y$, $y'$, $y''$ 代入微分方程：\n$4 e^{2x} + 2 e^{2x} + a e^{2x} = 0$。\n化简得 $(4 + 2 + a) e^{2x} = 0$。\n由于 $e^{2x} \neq 0$，故 $6 + a = 0$，解得 $a = -6$。