2． $\displaystyle{\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域。
确定积分区域与坐标变换
积分区域 D 是圆心在原点、半径为1的圆。采用极坐标变换：x = r cosθ, y = r sinθ，则 dxdy = r dr dθ，积分区域变为 r ∈ [0,1], θ ∈ [0,2π]。
写出极坐标下的二重积分
被积函数 e^{-x^2-y^2} = e^{-r^2}，因此积分化为 ∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^{1} e^{-r^2} r dr dθ。
分离变量并计算内层积分
先对 r 积分：∫_{0}^{1} e^{-r^2} r dr。令 u = r^2，则 du = 2r dr，即 r dr = du/2，积分限 u: 0→1，得 (1/2)∫_{0}^{1} e^{-u} du = (1/2)(-e^{-u})|_{0}^{1} = (1/2)(1 - e^{-1})。
计算外层积分
外层对 θ 积分：∫_{0}^{2π} dθ = 2π。将内层结果乘以 2π，得到最终结果：2π × (1/2)(1 - e^{-1}) = π(1 - e^{-1})。