1．计算由曲线 $y=\operatorname { c o s } x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=0$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积；
第一问：确定旋转体体积公式
曲线 y = cos x 在区间 [0, π/2] 上，与 x=0 和 y=0 围成的图形绕 x 轴旋转，体积公式为 V = π ∫_{0}^{π/2} (cos x)^2 dx。
第一问：计算积分
利用倍角公式 cos²x = (1+cos2x)/2，则 V = π ∫_{0}^{π/2} (1+cos2x)/2 dx = (π/2)[x + (1/2)sin2x]_{0}^{π/2} = (π/2)[(π/2 + 0) - (0+0)] = π²/4。
第二问：求一阶偏导数
对 f(x,y)=x³+y³-3xy 求偏导：f_x = 3x² - 3y，f_y = 3y² - 3x。令 f_x=0, f_y=0，得方程组：x² = y，y² = x。
第二问：解驻点
由 x²=y 和 y²=x 联立，代入得 x⁴=x，即 x(x³-1)=0，解得 x=0 或 x=1。对应 y=0 或 y=1。故驻点为 (0,0) 和 (1,1)。
第二问：求二阶偏导数并判别
计算二阶偏导：f_xx=6x，f_yy=6y，f_xy=-3。在 (0,0) 处，AC-B² = (0)(0) - (-3)² = -9 < 0，故不是极值点。在 (1,1) 处，AC-B² = (6)(6) - 9 = 36-9=27 > 0，且 A=6>0，故为极小值点，极小值为 f(1,1)=1+1-3=-1。