2．求二元函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．
求一阶偏导数
对函数 f(x,y)=x³+y³-3xy 分别求关于 x 和 y 的偏导数：
f_x = 3x² - 3y，f_y = 3y² - 3x
求驻点
令 f_x=0 且 f_y=0，得方程组：
3x² - 3y = 0 ⇒ y = x²
3y² - 3x = 0 ⇒ x = y²
代入得 x = (x²)² = x⁴，即 x⁴ - x = 0 ⇒ x(x³-1)=0，解得 x=0 或 x=1。
对应 y=0 或 y=1。因此驻点为 (0,0) 和 (1,1)。
求二阶偏导数
计算二阶偏导数：
f_xx = 6x，f_yy = 6y，f_xy = -3
构造海森矩阵并判别
海森矩阵 H = [[6x, -3], [-3, 6y]]，判别式 Δ = f_xx·f_yy - (f_xy)² = (6x)(6y) - 9 = 36xy - 9。
在 (0,0) 处：Δ = -9 < 0，故 (0,0) 不是极值点（鞍点）。
在 (1,1) 处：Δ = 36×1×1 - 9 = 27 > 0，且 f_xx=6>0，故 (1,1) 是极小值点。
求极小值
将 (1,1) 代入原函数：f(1,1) = 1³ + 1³ - 3×1×1 = 1+1-3 = -1。
因此函数在 (1,1) 处取得极小值 -1。