对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$，可以将其与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 比较。由于 $\frac{1}{n^{2}+1} < \frac{1}{n^{2}}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 是收敛的 $p$-级数（$p=2>1$），因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$ 也收敛。

对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$，这是一个等比级数，公比 $r = \frac{1}{2} < 1$，因此该级数收敛。

对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$，可以使用积分判别法。考虑积分 $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} dx = \ln(\ln x) \big|_{2}^{\infty} = \infty$，积分发散，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ 发散。

对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$，可以将其拆分为 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$，这是一个望远镜级数，其部分和为 $S_N = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1$，因此该级数收敛。

根据以上分析，选项C的级数是发散的。

由于 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且 $2a_{n}$ 是 $a_{n}$ 的常数倍，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} 2a_{n}$ 也收敛。选项A正确。

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 是一个交错级数，且 $a_{n}$ 单调递减趋于0（因为 $\sum a_{n}$ 收敛），根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。选项B正确。

由于 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$a_{n} \to 0$，因此存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时 $a_{n} < 1$，从而 $a_{n}^{2} < a_{n}$。由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。选项C正确。

考虑反例 $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，但 $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的调和级数。因此选项D错误。

根据以上分析，第二题中错误的说法是选项D。