微分方程 y' = x y 为可分离变量方程，分离变量得 dy/y = x dx，积分得 ln|y| = (1/2)x^2 + C，即 y = C e^{x^2/2}。当C=1时，y = e^{x^2/2}，对应选项D。

由偏导数定义，f_x'(1,1) = lim_{x→1} [f(x,1)-f(1,1)]/(x-1) = 2，选项B正确。选项A要求全微分存在才成立；选项C是f_y'(1,1)未知；选项D中y未固定，不满足偏导定义。