1．求曲线 $x y=4$ ，直线 $y=1, y=2$ 和 $y$ 轴所围成的图形绕 $y$ 轴旋转构成的旋转体的体积；
确定积分变量与范围
由于图形绕 y 轴旋转，选择 y 为积分变量。由曲线方程 xy=4 得 x = 4/y。直线 y=1, y=2 给出积分区间 y∈[1,2]。
写出体积微元
旋转体体积微元 dV = π [x(y)]² dy = π (4/y)² dy = π (16/y²) dy。
计算定积分
体积 V = ∫_{1}^{2} π (16/y²) dy = 16π ∫_{1}^{2} y^{-2} dy = 16π [ -y^{-1} ]_{1}^{2} = 16π ( -1/2 + 1 ) = 16π × 1/2 = 8π。
得出结果
所求旋转体的体积为 8π。