2．求二元函数 $f(x, y)=(x-1)^{2}+(y-4)^{2}$ 的极值；
求偏导数
计算函数 $f(x,y)=(x-1)^2+(y-4)^2$ 的一阶偏导数：
$f_x = 2(x-1)$，$f_y = 2(y-4)$
求驻点
令 $f_x=0$ 且 $f_y=0$，得方程组：
$2(x-1)=0$，$2(y-4)=0$
解得驻点为 $(1,4)$
求二阶偏导数
计算二阶偏导数：
$f_{xx}=2$，$f_{yy}=2$，$f_{xy}=0$
极值判定
计算判别式 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \times 2 - 0^2 = 4 > 0$，且 $f_{xx}=2>0$，故函数在 $(1,4)$ 处取得极小值。
求极小值
代入驻点得极小值：$f(1,4) = (1-1)^2 + (4-4)^2 = 0$