3．判别级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!a^{n}}{n^{n}}(a>e)}$ 的收敛性．
确定判别方法
由于通项含有n!和n^n，考虑使用比值判别法（达朗贝尔判别法）或根值判别法。这里选用比值判别法，计算lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n。
计算比值
设u_n = n! a^n / n^n，则u_{n+1} = (n+1)! a^{n+1} / (n+1)^{n+1}。比值：u_{n+1}/u_n = [ (n+1)! a^{n+1} / (n+1)^{n+1} ] * [ n^n / (n! a^n) ] = a * (n+1) * n^n / (n+1)^{n+1} = a * n^n / (n+1)^n = a * [ n/(n+1) ]^n。
求极限
计算lim_{n→∞} [ n/(n+1) ]^n = lim_{n→∞} 1/(1+1/n)^n = 1/e。因此lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n = a/e。
根据比值判别法判断
由于a > e，所以a/e > 1。根据比值判别法，当极限大于1时，级数发散。因此原级数发散。