令 $t = 2x - 1$，则 $\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}t$，当 $x=0$ 时 $t=-1$，当 $x=1$ 时 $t=1$。

原积分化为 $\int_{-1}^{1} t^{2024} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} t^{2024} \mathrm{d}t$。

被积函数 $t^{2024}$ 是偶函数，故 $\int_{-1}^{1} t^{2024} \mathrm{d}t = 2 \int_{0}^{1} t^{2024} \mathrm{d}t$。

$\frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{1} t^{2024} \mathrm{d}t = \int_{0}^{1} t^{2024} \mathrm{d}t = \left[ \frac{t^{2025}}{2025} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2025}$。