4．函数项级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}}$ 的收敛半径 $R=$ $\_\_\_\_$ ．
识别级数形式
该级数为幂级数 ∑_{n=1}^{∞} x^n，其通项为 a_n x^n，其中 a_n = 1。
应用收敛半径公式
对于幂级数 ∑ a_n x^n，收敛半径 R = 1 / limsup_{n→∞} |a_n|^{1/n}。由于 a_n = 1，所以 |a_n|^{1/n} = 1^{1/n} = 1，因此 limsup = 1。
计算收敛半径
R = 1 / 1 = 1。