5．设 $z=x^{2}+y^{2}$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。
求偏导数
对 $z=x^2+y^2$ 分别求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial z}{\partial y}=2y$。
代入点 (1,2) 求偏导数值
在点 $(1,2)$ 处：$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=2\times1=2$，$\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,2)}=2\times2=4$。
写出全微分表达式
全微分公式：$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$，代入得 $\left.dz\right|_{(1,2)} = 2\,dx + 4\,dy$。