首先，我们需要明确积分区域D的边界。对于第一题，D由直线$y=1$, $x=2$及$y=x$围成。我们可以绘制图形来帮助理解。 1. 直线$y=1$是一条水平线。 2. 直线$x=2$是一条垂直线。 3. 直线$y=x$是一条通过原点的斜线。 交点分析： - $y=1$与$y=x$的交点为$(1,1)$。 - $y=1$与$x=2$的交点为$(2,1)$。 - $y=x$与$x=2$的交点为$(2,2)$。 因此，区域D可以描述为：$1 \leq y \leq 2$, $y \leq x \leq 2$。

根据上一步的分析，我们可以将二重积分转化为累次积分： $$\iint_{D} x y^{2} \mathrm{d}\sigma = \int_{1}^{2} \left( \int_{y}^{2} x y^{2} \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y$$ 先计算内积分： $$\int_{y}^{2} x y^{2} \mathrm{d}x = y^{2} \int_{y}^{2} x \mathrm{d}x = y^{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{y}^{2} = y^{2} \left( \frac{4}{2} - \frac{y^{2}}{2} \right) = y^{2} \left( 2 - \frac{y^{2}}{2} \right) = 2 y^{2} - \frac{y^{4}}{2}$$ 然后计算外积分： $$\int_{1}^{2} \left( 2 y^{2} - \frac{y^{4}}{2} \right) \mathrm{d}y = \left[ \frac{2 y^{3}}{3} - \frac{y^{5}}{10} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{16}{3} - \frac{32}{10} \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{10} \right) = \left( \frac{16}{3} - \frac{16}{5} \right) - \left( \frac{20}{30} - \frac{3}{30} \right) = \left( \frac{80}{15} - \frac{48}{15} \right) - \frac{17}{30} = \frac{32}{15} - \frac{17}{30} = \frac{64}{30} - \frac{17}{30} = \frac{47}{30}$$ 因此，第一题的答案为$\frac{47}{30}$。

对于第二题，D由$y=x$, $y=1$及$y$轴（即$x=0$）围成。我们可以绘制图形来帮助理解。 1. 直线$y=x$是一条通过原点的斜线。 2. 直线$y=1$是一条水平线。 3. $y$轴即$x=0$。 交点分析： - $y=x$与$y=1$的交点为$(1,1)$。 - $y=1$与$x=0$的交点为$(0,1)$。 - $y=x$与$x=0$的交点为$(0,0)$。 因此，区域D可以描述为：$0 \leq x \leq 1$, $x \leq y \leq 1$。

根据上一步的分析，我们可以将二重积分转化为累次积分： $$\iint_{D} e^{y^{2}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \left( \int_{x}^{1} e^{y^{2}} \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x$$ 然而，直接计算内积分$\int e^{y^{2}} \mathrm{d}y$较为困难。因此，我们考虑交换积分顺序。 重新描述区域D：$0 \leq y \leq 1$, $0 \leq x \leq y$。 于是，积分变为： $$\iint_{D} e^{y^{2}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{y} e^{y^{2}} \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y = \int_{0}^{1} e^{y^{2}} \left( \int_{0}^{y} \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y = \int_{0}^{1} e^{y^{2}} \cdot y \mathrm{d}y$$ 令$u = y^{2}$, 则$\mathrm{d}u = 2 y \mathrm{d}y$, 即$y \mathrm{d}y = \frac{1}{2} \mathrm{d}u$。 积分变为： $$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u} \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \left[ e^{u} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e - 1)$$ 因此，第二题的答案为$\frac{1}{2} (e - 1)$。