区域D由直线y=x、y=1以及y轴（x=0）围成。由于被积函数e^{y^2}仅依赖于y，选择先对x积分后对y积分较为简便。

y的取值范围是从y=x与y轴的交点（即y=0）到y=1；对于固定的y，x从左边边界x=0到右边边界x=y。因此积分可写为：∫_{y=0}^{1} ∫_{x=0}^{y} e^{y^2} dx dy。

对x积分时，e^{y^2}视为常数，内层积分结果为：∫_{0}^{y} e^{y^2} dx = e^{y^2} * (y - 0) = y e^{y^2}。

外层积分为∫_{0}^{1} y e^{y^2} dy。令u=y^2，则du=2y dy，即y dy = du/2。当y=0时u=0，y=1时u=1。积分变为∫_{0}^{1} e^{u} * (1/2) du = (1/2) ∫_{0}^{1} e^{u} du = (1/2)(e^1 - e^0) = (e - 1)/2。

因此，二重积分的值为 (e - 1)/2。