1．$x \ln x \mathrm{~d} y+(y-\ln x) \mathrm{d} x=0,\left.y\right|_{x=\mathrm{e}}=1$ ，求满足初值条件的特解；
整理方程
将方程写成标准形式：
$x \ln x \, dy + (y - \ln x) \, dx = 0$，即
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y - \ln x}{x \ln x}$。
判断方程类型
考虑将方程化为全微分形式。令 $M(x,y) = y - \ln x$，$N(x,y) = x \ln x$，则原方程为 $M\,dx + N\,dy = 0$。
计算偏导数：
$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$，$\frac{\partial N}{\partial x} = \ln x + 1$。
由于 $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$，不是全微分方程。
寻找积分因子
计算 $\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right) = \frac{1}{x \ln x}(1 - (\ln x + 1)) = \frac{-\ln x}{x \ln x} = -\frac{1}{x}$。
该结果仅为 $x$ 的函数，故存在积分因子 $\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$。
乘以积分因子化为全微分
方程两边乘以 $\mu(x) = \frac{1}{x}$，得：
$\frac{y - \ln x}{x} \, dx + \ln x \, dy = 0$。
此时 $\tilde{M} = \frac{y - \ln x}{x}$，$\tilde{N} = \ln x$。
验证：$\frac{\partial \tilde{M}}{\partial y} = \frac{1}{x}$，$\frac{\partial \tilde{N}}{\partial x} = \frac{1}{x}$，相等，确为全微分方程。
求原函数
设 $u(x,y)$ 满足 $du = \tilde{M}\,dx + \tilde{N}\,dy$。
由 $\frac{\partial u}{\partial y} = \tilde{N} = \ln x$，积分得 $u = y \ln x + \varphi(x)$。
再由 $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y}{x} + \varphi'(x) = \tilde{M} = \frac{y - \ln x}{x}$，
得 $\varphi'(x) = -\frac{\ln x}{x}$，积分得 $\varphi(x) = -\frac{1}{2}(\ln x)^2 + C$。
故通解为 $u = y \ln x - \frac{1}{2}(\ln x)^2 = C$。
代入初值条件
由 $\left.y\right|_{x=e}=1$，代入 $x=e$，$y=1$：
$1 \cdot \ln e - \frac{1}{2}(\ln e)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，故 $C = \frac{1}{2}$。
写出特解
所求特解为：
$y \ln x - \frac{1}{2}(\ln x)^2 = \frac{1}{2}$，
或写成 $y = \frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{2\ln x}$。