10．将二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma}$ 表达为极坐标系下的二重积分为 ．
A $\displaystyle{\iint_{D} f(\cos \theta, \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta}$
B $\displaystyle{\iint_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta}$
C $\displaystyle{\iint_{D} f(\cos \theta, \sin \theta) \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta}$
D $\displaystyle{\iint_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta}$
回忆极坐标变换公式
在极坐标系下，直角坐标 (x, y) 与极坐标 (r, θ) 的关系为：x = r cosθ, y = r sinθ。
面积元素变换
直角坐标系下的面积元素 dσ = dx dy 在极坐标系下变为 r dr dθ。
被积函数的替换
将 f(x, y) 中的 x 和 y 分别替换为 r cosθ 和 r sinθ，即 f(x, y) → f(r cosθ, r sinθ)。
写出极坐标下的二重积分形式
综合以上，二重积分在极坐标系下表示为 ∬_D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ。
选择正确选项
对照选项，只有B选项符合上述形式，因此答案为B。