2．下列哪一个为一阶线性微分方程 。
A$\left(y^{\prime}\right)^{2}+y=\sin x$
B $y^{\prime} y=2 x$
C $d y+\left(y-e^{x}\right) d x=0$
D $y^{\prime}=e^{x+y}$
分析选项A
选项A的方程为 $(y')^2 + y = \sin x$。这是一个关于 $y'$ 的二次方程，不是线性微分方程。因此，选项A不是一阶线性微分方程。
分析选项B
选项B的方程为 $y' y = 2x$。这个方程可以改写为 $y' = \frac{2x}{y}$，这是一个非线性微分方程，因为 $y'$ 与 $y$ 的关系不是线性的。因此，选项B不是一阶线性微分方程。
分析选项C
选项C的方程为 $dy + (y - e^x) dx = 0$。可以改写为 $\frac{dy}{dx} + y = e^x$，这是一阶线性微分方程的标准形式 $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) = e^x$。因此，选项C是一阶线性微分方程。
分析选项D
选项D的方程为 $y' = e^{x + y}$。可以改写为 $y' = e^x e^y$，这是一个非线性微分方程，因为 $y'$ 与 $e^y$ 的关系不是线性的。因此，选项D不是一阶线性微分方程。
总结
综上所述，选项C是唯一的一阶线性微分方程。