给定函数 $f(x, y) = x^{2} y + \sin y$，首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$。对 $x$ 求偏导时，$y$ 视为常数。因此，$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$。

将点 $(1, \pi)$ 代入 $\frac{\partial f}{\partial x}$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x}(1, \pi) = 2 \times 1 \times \pi = 2\pi$。因此，正确答案是 A．$2\pi$。

微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2xy$ 是可分离变量的微分方程。将方程改写为 $\frac{dy}{y} = 2x dx$。

两边积分得 $\ln |y| = x^{2} + C_1$，其中 $C_1$ 为常数。取指数函数得 $y = e^{x^{2} + C_1} = C e^{x^{2}}$，其中 $C = e^{C_1}$ 为任意常数。

对比选项，A．$y = C e^{x^{2}}$ 与通解一致，因此正确答案是 A。其他选项：B．$y = C e^{2x}$ 不正确；C．$y = C x^{2}$ 不正确；D．$y = C e^{-x^{2}}$ 不正确。