6．已知级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}$ 收敛，那么下列级数一定收敛的是 ．
A$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}}$
B$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} 3 a_{n}}$
C$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}}$
D$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}}$
分析选项A
若级数∑a_n收敛，不能保证∑a_n²收敛，例如a_n=(-1)^n/√n，∑a_n条件收敛，但∑a_n²=∑1/n发散。
分析选项B
由级数收敛的性质，若∑a_n收敛，则数乘级数∑3a_n也收敛，因为收敛级数乘以常数仍收敛。
分析选项C
∑(-1)^n a_n不一定收敛，例如取a_n=(-1)^n/n，则∑a_n收敛（交错级数），但∑(-1)^n a_n=∑1/n发散。
分析选项D
∑n a_n不一定收敛，例如取a_n=(-1)^n/(n ln n)，∑a_n收敛，但∑n a_n=∑(-1)^n/ln n发散（通项不趋于0）。
得出结论
只有选项B一定收敛，因此正确答案为B。