2． $\displaystyle{\int_{1}^{e} \frac{\mathrm{~d} x}{x(1+\ln x)}}$
观察被积函数，考虑换元
被积函数为 1/(x(1+ln x))，注意到分母中有 ln x，且 x 在分母中，可令 t = ln x，则 dt = (1/x) dx。
换元并变换积分限
当 x = 1 时，t = ln 1 = 0；当 x = e 时，t = ln e = 1。原积分化为 ∫_{0}^{1} 1/(1+t) dt。
计算新积分
∫_{0}^{1} 1/(1+t) dt = ln|1+t| 从 0 到 1 = ln(2) - ln(1) = ln 2。
得出结果
原积分值为 ln 2。