给定 $f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$，这是一个积分上限函数。根据积分上限函数的导数公式，如果 $F(x) = \int_{a}^{u(x)} g(t) \mathrm{d} t$，那么 $F'(x) = g(u(x)) \cdot u'(x)$。因此，$f'(x) = \frac{\ln (x^2)}{1 + x^2} \cdot (2x)$。

化简导数表达式：$f'(x) = \frac{2x \ln (x^2)}{1 + x^2}$。注意到 $\ln (x^2) = 2 \ln x$，因此 $f'(x) = \frac{4x \ln x}{1 + x^2}$。

将 $x = 2$ 代入导数表达式：$f'(2) = \frac{4 \cdot 2 \cdot \ln 2}{1 + 2^2} = \frac{8 \ln 2}{5}$。