2．已知 $\displaystyle{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3}$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{1} x f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x=}$ $\_\_\_\_$。
换元
令 $t = x^2$，则 $\mathrm{d}t = 2x \mathrm{d}x$，即 $x \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \mathrm{d}t$。
变换积分限
当 $x=0$ 时，$t=0$；当 $x=1$ 时，$t=1$。
代入原积分
原积分 $\int_0^1 x f(x^2) \mathrm{d}x = \int_0^1 f(t) \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$。
利用已知条件
已知 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 3$，所以 $\frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$。