微分方程的阶数由方程中出现的最高阶导数的阶数决定。在方程 $y''' + (y'')^4 + 2y''y' + y^2 + 2x = 0$ 中，最高阶导数是 $y'''$，因此阶数为 3。

计算极限 $\lim_{(x, y) \rightarrow (0,0)} \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$。令 $t = x^2 + y^2$，当 $(x, y) \rightarrow (0,0)$ 时，$t \rightarrow 0$。因此，极限变为 $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} = 1$。

已知 $z = \sin(xy)$，首先计算一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x} = y \cos(xy)$，然后对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \cos(xy) - xy \sin(xy)$。

区域 $D$ 由 $x=0$, $y=0$, $x+y=1$ 围成，积分 $\iint_D d\sigma$ 表示区域 $D$ 的面积。这是一个直角三角形，面积为 $\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$。

幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的收敛半径 $R$ 可以通过比值法计算：$R = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = 1$。

已知 $z = 2x^2 y + x y^2$，计算偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x} = 4xy + y^2$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 + 2xy$。在点 $(1,1)$ 处，$\frac{\partial z}{\partial x} = 4 \times 1 \times 1 + 1^2 = 5$，$\frac{\partial z}{\partial y} = 2 \times 1^2 + 2 \times 1 \times 1 = 4$。因此，全微分为 $dz = 5 dx + 4 dy$。

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，根据级数收敛的必要条件，$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$。