极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}$。 令 $t = x^2 + y^2$，当 $(x, y) \rightarrow (0,0)$ 时，$t \rightarrow 0$。 原极限变为 $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} = 1$。 因此，答案为 $1$。

已知 $z = \sin(xy)$，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$。 首先求一阶偏导数： $\frac{\partial z}{\partial x} = y \cos(xy)$。 再对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导数： $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \cos(xy) - xy \sin(xy)$。 因此，答案为 $\cos(xy) - xy \sin(xy)$。

计算 $\iint_{\mathbf{D}} \mathbf{d} \mathbf{\sigma}$，其中 $\mathbf{D}$ 是由 $x=0, y=0, x+y=1$ 围成的区域。 积分区域 $D$ 是一个直角三角形，可以表示为 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1 - x$。 因此，积分值为： $\iint_{D} d\sigma = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} dy dx = \int_{0}^{1} (1 - x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$。 因此，答案为 $\frac{1}{2}$。

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}$ 的收敛半径 $R$。 使用比值判别法： $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$。 因此，收敛半径 $R = \frac{1}{1} = 1$。 因此，答案为 $1$。

已知 $z = 2x^2 y + x y^2$，求它在点 $(1,1)$ 的全微分 $dz|_{(1,1)}$。 首先求偏导数： $\frac{\partial z}{\partial x} = 4xy + y^2$， $\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 + 2xy$。 在点 $(1,1)$ 处： $\frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = 4 \cdot 1 \cdot 1 + 1^2 = 5$， $\frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 4$。 因此，全微分为： $dz|_{(1,1)} = 5 dx + 4 dy$。 因此，答案为 $5 dx + 4 dy$。

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。 根据级数收敛的必要条件，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。 因此，答案为 $0$。