积分区域 $\mathbf{D}$ 是由 $x=0$, $y=0$, $x+y=1$ 围成的第一象限的有限区域，这是一个直角三角形，顶点在 $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$。

对于二重积分 $\iint_{\mathbf{D}} d\sigma$，可以表示为 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} dy dx$。

计算内积分 $\int_{0}^{1-x} dy = y \big|_{0}^{1-x} = 1 - x$。

计算外积分 $\int_{0}^{1} (1 - x) dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。

因此，$\iint_{\mathbf{D}} d\sigma = \frac{1}{2}$。