对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}$，使用比值法求收敛半径。\n计算 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{n} \right| = 1$。\n因此，收敛半径 $R = \frac{1}{1} = 1$。

给定函数 $z = 2x^2y + xy^2$，首先计算偏导数：\n$\frac{\partial z}{\partial x} = 4xy + y^2$，\n$\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 + 2xy$。\n在点 $(1,1)$ 处，\n$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)} = 4 \times 1 \times 1 + 1^2 = 5$，\n$\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,1)} = 2 \times 1^2 + 2 \times 1 \times 1 = 4$。\n因此，全微分为 $dz = 5dx + 4dy$。

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，根据级数收敛的必要条件，\n$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。