首先，我们需要找到曲线 $xy=1$ 和直线 $y=x$ 以及 $y=2$ 的交点。 1. 求 $xy=1$ 与 $y=2$ 的交点：代入 $y=2$ 得 $x=\frac{1}{2}$，交点为 $(\frac{1}{2}, 2)$。 2. 求 $xy=1$ 与 $y=x$ 的交点：代入 $y=x$ 得 $x^2=1$，即 $x=1$（因为 $x=-1$ 不在 $y=2$ 下方），交点为 $(1, 1)$。 3. 求 $y=x$ 与 $y=2$ 的交点：代入 $y=2$ 得 $x=2$，交点为 $(2, 2)$。 接下来，确定积分区间和积分函数。图形由两部分组成： - 从 $x=\frac{1}{2}$ 到 $x=1$，上边界为 $y=2$，下边界为 $y=\frac{1}{x}$。 - 从 $x=1$ 到 $x=2$，上边界为 $y=2$，下边界为 $y=x$。 因此，面积为： $$A = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx + \int_{1}^{2} (2 - x) dx$$ 计算第一个积分： $$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = \left[2x - \ln|x|\right]_{\frac{1}{2}}^{1} = (2 - 0) - (1 - \ln 2) = 1 + \ln 2$$ 计算第二个积分： $$\int_{1}^{2} (2 - x) dx = \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} = (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$$ 因此，总面积为： $$A = 1 + \ln 2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \ln 2$$

已知微分方程 $y'' + a y' + 2y = 0$ 有一个解为 $y = e^{2x}$。 1. 将 $y = e^{2x}$ 代入微分方程： $$y' = 2e^{2x}, \quad y'' = 4e^{2x}$$ 代入得： $$4e^{2x} + a \cdot 2e^{2x} + 2e^{2x} = 0$$ 化简： $$e^{2x}(4 + 2a + 2) = 0 \Rightarrow 6 + 2a = 0 \Rightarrow a = -3$$ 2. 求微分方程的通解。已知 $a = -3$，方程为 $y'' - 3y' + 2y = 0$。 特征方程为： $$r^2 - 3r + 2 = 0 \Rightarrow (r-1)(r-2) = 0 \Rightarrow r_1 = 1, r_2 = 2$$ 因此，通解为： $$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$

给定函数 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$。 1. 求偏导数： $$f_x = 2x - 2, \quad f_y = 2y - 4$$ 2. 求临界点：令偏导数为零： $$2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$$ $$2y - 4 = 0 \Rightarrow y = 2$$ 临界点为 $(1, 2)$。 3. 判断极值类型。计算二阶偏导数： $$f_{xx} = 2, \quad f_{yy} = 2, \quad f_{xy} = 0$$ 判别式： $$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 0 = 4 > 0$$ 且 $f_{xx} = 2 > 0$，因此 $(1, 2)$ 是极小值点。 4. 极小值为： $$f(1, 2) = 1 + 4 - 2 - 8 + 5 = 0$$