4．判断级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}}$ 的收敛性．
确定审敛方法
由于级数通项含有阶乘和指数函数，考虑使用比值审敛法（达朗贝尔判别法）。
计算相邻项比值
设通项为 a_n = 3^n / n!，则 a_{n+1} = 3^{n+1} / (n+1)!，计算比值：a_{n+1} / a_n = [3^{n+1} / (n+1)!] * [n! / 3^n] = 3 / (n+1)。
求极限
计算极限：lim_{n→∞} |a_{n+1} / a_n| = lim_{n→∞} 3/(n+1) = 0。
根据比值审敛法判断
由于极限值 0 < 1，根据比值审敛法，级数 ∑_{n=1}^{∞} 3^n / n! 绝对收敛，因此原级数收敛。