2．计算二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 由直线 $y=0, y=x, x=2$ 围成。
确定积分区域
区域D由直线y=0（x轴）、y=x、x=2围成，为x从0到2，y从0到x的三角形区域。
化为累次积分
将二重积分化为先对y后对x的累次积分：∬_D xy dxdy = ∫_{x=0}^{2} ∫_{y=0}^{x} xy dy dx。
计算内层积分
先对y积分：∫_{y=0}^{x} xy dy = x * [y^2/2]_{0}^{x} = x * (x^2/2) = x^3/2。
计算外层积分
再对x积分：∫_{0}^{2} (x^3/2) dx = (1/2) * [x^4/4]_{0}^{2} = (1/2) * (16/4) = (1/2)*4 = 2。
得出结果
二重积分的值为2。