人邮高数 第2章 第2-4-2题

[AI解答]

[AI解答]

拉格朗日中值定理条件：函数在闭区间上连续，在开区间内可导。若满足，则存在 $\xi$ 在开区间内，使得
$$
f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
$$

---

（1）$f(x)=2x^{3},[-1,1]$

- 多项式函数，在 $\mathbb{R}$ 上连续且可导，故满足拉格朗日定理条件。
- 计算：
$f(-1)=2(-1)^3=-2$，$f(1)=2(1)^3=2$，
平均变化率
$$
\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{2-(-2)}{2}=\frac{4}{2}=2.
$$
- 求导：$f'(x)=6x^{2}$，令 $6\xi^{2}=2$，得 $\displaystyle \xi^{2}=\frac{1}{3}$，
所以 $\displaystyle \xi=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$。
在开区间 $(-1,1)$ 内，两个值都满足，因此
$$
\xi=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\text{或}\quad \xi=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
$$

---

（2）$f(x)=\arctan x,[0,1]$

- $\arctan x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且可导，故满足条件。
- 计算：
$f(0)=0$，$\displaystyle f(1)=\frac{\pi}{4}$，
平均变化率
$$
\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{\pi}{4}.
$$
- 求导：$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$，令
$$
\frac{1}{1+\xi^{2}}=\frac{\pi}{4}.
$$
解得
$$
1+\xi^{2}=\frac{4}{\pi},\quad \xi^{2}=\frac{4}{\pi}-1.
$$
因为 $\displaystyle \frac{4}{\pi}>1$，所以 $\displaystyle \xi=\sqrt{\frac{4}{\pi}-1}$，在 $(0,1)$ 内，故
$$
\xi=\sqrt{\frac{4}{\pi}-1}.
$$

---

（3）$f(x)=x^{3}+2x^{2}+x-2,[-1,0]$

- 多项式函数，连续可导，满足条件。
- 计算：
$f(-1)=(-1)^3+2(1)+(-1)-2=-1+2-1-2=-2$，
$f(0)=0+0+0-2=-2$，
平均变化率
$$
\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}=\frac{-2-(-2)}{1}=0.
$$
- 求导：$f'(x)=3x^{2}+4x+1$，令
$$
3\xi^{2}+4\xi+1=0.
$$
解二次方程：
$$
\xi=\frac{-4\pm\sqrt{16-12}}{6}=\frac{-4\pm2}{6}.
$$
得 $\xi=-1$ 或 $\displaystyle \xi=-\frac{1}{3}$。
开区间 $(-1,0)$ 内只有 $\displaystyle \xi=-\frac{1}{3}$，因此
$$
\xi=-\frac{1}{3}.
$$

---

最终答案
（1）$\displaystyle \xi=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$；
（2）$\displaystyle \xi=\sqrt{\frac{4}{\pi}-1}$；
（3）$\displaystyle \xi=-\frac{1}{3}$。