人邮高数 第2章 第2-5-2题
📝 题目
2．求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 按 $(x+1)$ 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 $n$ 阶泰勒公式。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ x_0 = -1 $ 处展开为带有拉格朗日型余项的 $ n $ 阶泰勒公式。
即按 $(x+1)$ 的幂展开，因为 $ x+1 = x - (-1) $，所以展开点为 $ x_0 = -1 $。
第一步：计算各阶导数
设
$$
f(x) = x^{-1}
$$
则
$$
f'(x) = -x^{-2}, \quad f''(x) = 2x^{-3}, \quad f'''(x) = -6x^{-4}
$$
归纳可得：
$$
f^{(k)}(x) = (-1)^k \, k! \, x^{-(k+1)}
$$
代入 $ x_0 = -1 $：
$$
f^{(k)}(-1) = (-1)^k \, k! \, (-1)^{-(k+1)} = (-1)^k \, k! \, (-1)^{-k-1}
$$
因为 $(-1)^{-k-1} = (-1)^{k+1}$（因为负指数不影响符号），所以
$$
f^{(k)}(-1) = (-1)^k \cdot k! \cdot (-1)^{k+1} = (-1)^{2k+1} k! = -k!
$$
因此
$$
f^{(k)}(-1) = -k!
$$
第二步：写出泰勒多项式
泰勒公式为
$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(-1)}{k!} (x+1)^k + R_n(x)
$$
代入 $ f^{(k)}(-1) = -k! $：
$$
\frac{f^{(k)}(-1)}{k!} = -1
$$
所以多项式部分为
$$
\sum_{k=0}^{n} (-1)(x+1)^k = -\sum_{k=0}^{n} (x+1)^k
$$
第三步：拉格朗日余项
拉格朗日余项公式为
$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x+1)^{n+1}
$$
其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $-1$ 之间。
由前面导数公式，
$$
f^{(n+1)}(\xi) = (-1)^{n+1} (n+1)! \, \xi^{-(n+2)}
$$
代入得
$$
R_n(x) = \frac{(-1)^{n+1} (n+1)! \, \xi^{-(n+2)}}{(n+1)!} (x+1)^{n+1}
= (-1)^{n+1} \frac{(x+1)^{n+1}}{\xi^{\,n+2}}
$$
第四步：写出完整公式
因此
$$
\boxed{\frac{1}{x} = -\sum_{k=0}^{n} (x+1)^k + (-1)^{n+1} \frac{(x+1)^{n+1}}{\xi^{\,n+2}}}
$$
其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $-1$ 之间。
难度评级：★★☆☆☆
（主要考察泰勒公式展开与导数归纳，计算量较小，但需注意符号处理。）