人邮高数 第2章 第2-5-3题
📝 题目
3．利用带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式求下列极限：
（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ；
（2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ；
（3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x+\frac{1}{6} x^{3}}{x^{5}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
---
（1）
$$
\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}
$$
第一步：展开分子
由麦克劳林公式：
$$
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)
$$
$$
\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)
$$
相减得：
$$
\cos x - \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8}\right) + o(x^4)
$$
$$
= \left(\frac{1}{24} - \frac{1}{8}\right)x^4 + o(x^4) = -\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)
$$
第二步：展开分母中的因子
$$
\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)
$$
所以
$$
x + \ln(1-x) = x + \left(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)
$$
因此分母为：
$$
x^2[x + \ln(1-x)] = x^2\left(-\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) = -\frac{x^4}{2} + o(x^4)
$$
第三步：求极限
$$
\displaystyle{\lim}_{x\to 0} \frac{-\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)}{-\frac{1}{2}x^4 + o(x^4)} = \frac{-\frac{1}{12}}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}
$$
答案：
$$
\boxed{\frac{1}{6}}
$$
---
（2）
$$
\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}
$$
第一步：展开分子
$$
\mathrm{e}^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)
$$
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)
$$
相乘时保留到 $x^3$ 项：
$$
\mathrm{e}^{x}\sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right)\left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3)
$$
先乘出：
- $1 \cdot x = x$
- $1 \cdot (-\frac{x^3}{6}) = -\frac{x^3}{6}$
- $x \cdot x = x^2$
- $\frac{x^2}{2} \cdot x = \frac{x^3}{2}$
- 更高阶忽略
所以：
$$
\mathrm{e}^{x}\sin x = x + x^2 + \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right)x^3 + o(x^3) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)
$$
减去 $x(1+x) = x + x^2$ 得：
$$
\mathrm{e}^{x}\sin x - x(1+x) = \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)
$$
第二步：求极限
$$
\displaystyle{\lim}_{x\to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3 + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3}
$$
答案：
$$
\boxed{\frac{1}{3}}
$$
---
（3）
$$
\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x+\frac{1}{6} x^{3}}{x^{5}}
$$
第一步：展开
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)
$$
则分子为：
$$
\sin x - x + \frac{x^3}{6} = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right) - x + \frac{x^3}{6} + o(x^5) = \frac{x^5}{120} + o(x^5)
$$
第二步：求极限
$$
\displaystyle{\lim}_{x\to 0} \frac{\frac{x^5}{120} + o(x^5)}{x^5} = \frac{1}{120}
$$
答案：
$$
\boxed{\frac{1}{120}}
$$
---
难度：★★☆☆☆