人邮高数 第2章 第2-5-4题

教材习题

📝 题目

4．试确定常数 $a$ 和 $b$ ，使 $f(x)=x-(a+b \cos x) \sin x$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时关于 $x$ 的 5 阶无穷小．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们已知函数
$$
f(x)=x-(a+b\cos x)\sin x.
$$
要使得当 $x\to 0$ 时，$f(x)$ 是关于 $x$ 的 5 阶无穷小，即
$$
f(x) = O(x^5),\quad x\to 0,
$$
也就是要求 $f(x)$ 的泰勒展开中，$x, x^2, x^3, x^4$ 的系数均为零，而 $x^5$ 的系数不为零。

首先将 $\sin x$ 和 $\cos x$ 展开到足够高阶：

$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + O(x^7),
$$
$$
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6).
$$

于是
$$
a + b\cos x = a + b\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right)
= (a+b) - \frac{b}{2}x^2 + \frac{b}{24}x^4 + O(x^6).
$$

将其乘以 $\sin x$ 的展开：

先计算
$$
(a+b\cos x)\sin x
= \left[(a+b) - \frac{b}{2}x^2 + \frac{b}{24}x^4 + O(x^6)\right]
\cdot \left[x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)\right].
$$

逐项相乘至 $x^5$ 项：

- 常数项乘 $x$：$(a+b)x$
- 常数项乘 $-\frac{x^3}{6}$：$-\frac{a+b}{6}x^3$
- 常数项乘 $\frac{x^5}{120}$：$\frac{a+b}{120}x^5$

- $-\frac{b}{2}x^2$ 乘 $x$：$-\frac{b}{2}x^3$
- $-\frac{b}{2}x^2$ 乘 $-\frac{x^3}{6}$：$\frac{b}{12}x^5$

- $\frac{b}{24}x^4$ 乘 $x$：$\frac{b}{24}x^5$

更高阶项不影响 $x^5$ 及以下。

因此合并：

一次项系数：$a+b$
三次项系数：$-\frac{a+b}{6} - \frac{b}{2}$
五次项系数：$\frac{a+b}{120} + \frac{b}{12} + \frac{b}{24}$

于是
$$
f(x) = x - (a+b\cos x)\sin x
= x - \left[ (a+b)x + \left(-\frac{a+b}{6} - \frac{b}{2}\right)x^3 + \left(\frac{a+b}{120} + \frac{b}{12} + \frac{b}{24}\right)x^5 + \cdots \right].
$$

即
$$
f(x) = \big[1 - (a+b)\big]x
- \left(-\frac{a+b}{6} - \frac{b}{2}\right)x^3
- \left(\frac{a+b}{120} + \frac{b}{12} + \frac{b}{24}\right)x^5 + O(x^7).
$$

要消去 $x$ 和 $x^3$ 项，令：

$$
1 - (a+b) = 0 \quad\Rightarrow\quad a+b = 1,
$$
$$
-\left(-\frac{a+b}{6} - \frac{b}{2}\right) = 0
\;\Rightarrow\; \frac{a+b}{6} + \frac{b}{2} = 0.
$$

代入 $a+b=1$ 得
$$
\frac{1}{6} + \frac{b}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{b}{2} = -\frac{1}{6} \quad\Rightarrow\quad b = -\frac{1}{3}.
$$

再由 $a+b=1$ 得
$$
a = 1 - b = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.
$$

此时检查 $x^5$ 系数（应不为零）：

五次项系数为
$$
-\left( \frac{a+b}{120} + \frac{b}{12} + \frac{b}{24} \right)
= -\left( \frac{1}{120} + \frac{-1/3}{12} + \frac{-1/3}{24} \right).
$$

计算：
$$
\frac{-1/3}{12} = -\frac{1}{36},\quad \frac{-1/3}{24} = -\frac{1}{72}.
$$
通分分母 360：
$$
\frac{1}{120} = \frac{3}{360},\quad -\frac{1}{36} = -\frac{10}{360},\quad -\frac{1}{72} = -\frac{5}{360}.
$$
和为
$$
\frac{3 - 10 - 5}{360} = -\frac{12}{360} = -\frac{1}{30}.
$$
因此五次项系数为
$$
- \left( -\frac{1}{30} \right) = \frac{1}{30} \neq 0.
$$

所以 $f(x)$ 确实是 $x$ 的 5 阶无穷小。

最终答案：
$$
\boxed{a = \frac{4}{3},\quad b = -\frac{1}{3}}.
$$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：明确问题要求：f(x)为x→0时关于x的5阶无穷小，即泰勒展开中x^1至x^4项系数为零，x^5项系数非零。
将sin x和cos x展开到足够高阶：sin x = x - x^3/6 + x^5/120 + O(x^7)，cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 + O(x^6)。
公式：sin x = x - x^3/3! + x^5/5! + O(x^7); cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! + O(x^6)
提示：展开阶数需至少到x^5，因为要消去x^1至x^4项。
步骤 2/5
目标：计算(a+b cos x) sin x的泰勒展开至x^5项。
先展开a+b cos x = (a+b) - (b/2)x^2 + (b/24)x^4 + O(x^6)，再与sin x展开相乘，逐项合并至x^5。
公式：(a+b cos x) sin x = (a+b)x + [-(a+b)/6 - b/2]x^3 + [(a+b)/120 + b/12 + b/24]x^5 + O(x^7)
提示：注意相乘时只保留次数≤5的项，更高阶项忽略。
步骤 3/5
目标：写出f(x)=x-(a+b cos x) sin x的展开式，并令x和x^3项系数为零。
f(x)=[1-(a+b)]x - [-(a+b)/6 - b/2]x^3 - [(a+b)/120 + b/12 + b/24]x^5 + O(x^7)。令x项系数1-(a+b)=0，x^3项系数-(a+b)/6 - b/2=0。
公式：1-(a+b)=0; (a+b)/6 + b/2 = 0
提示：注意x^3项系数符号：f(x)中减去展开式，故系数为负。
步骤 4/5
目标：解方程组得到a和b。
由1-(a+b)=0得a+b=1；代入第二式得1/6 + b/2=0，解得b=-1/3，进而a=4/3。
公式：a+b=1; b=-1/3; a=4/3
提示：解方程时注意符号。
步骤 5/5
目标：验证x^5项系数非零。
代入a=4/3, b=-1/3，计算x^5项系数：-[(a+b)/120 + b/12 + b/24] = -[1/120 - 1/36 - 1/72] = -(-1/30)=1/30 ≠ 0。
公式：x^5系数 = 1/30
提示：确保系数非零，否则阶数可能更高。

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