人邮高数 第2章 第2-6-10题

[AI解答]

[AI解答]

解：
函数为 $y = e^{\arctan x}$，定义域为 $(-\infty, +\infty)$。
先求一阶导数：
$$
y' = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2}.
$$

再求二阶导数：
$$
y'' = \frac{d}{dx}\left( e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \right)
= e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{1}{1+x^2} + e^{\arctan x} \cdot \left(-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\right).
$$
整理得：
$$
y'' = e^{\arctan x} \cdot \frac{1 - 2x}{(1+x^2)^2}.
$$

令 $y'' = 0$，由于 $e^{\arctan x} > 0$，$(1+x^2)^2 > 0$，所以只需
$$
1 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac12.
$$

下面判断 $\displaystyle x = \frac12$ 两侧 $y''$ 的符号：

- 当 $\displaystyle x < \frac12$ 时，$1-2x > 0$，故 $y'' > 0$，函数图形是凹的（即下凸）；
- 当 $\displaystyle x > \frac12$ 时，$1-2x < 0$，故 $y'' < 0$，函数图形是凸的（即上凸）。

因此：
- 凹区间：$\displaystyle \left(-\infty, \frac12\right)$；
- 凸区间：$\displaystyle \left(\frac12, +\infty\right)$；
- 拐点为 $\displaystyle \left(\frac12, e^{\arctan \frac12}\right)$。

最终答案：
$$
\boxed{\text{凹区间：}\left(-\infty,\frac12\right),\quad \text{凸区间：}\left(\frac12,+\infty\right),\quad \text{拐点：}\left(\frac12, e^{\arctan\frac12}\right)}.
$$