人邮高数 第2章 第2-6-11题

[AI解答]

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解：
首先给出函数定义域为 $x>0$。
要求拐点及凹凸区间，需计算二阶导数并分析其符号。

1. 求一阶导数
函数 $y = x^{4}(12 \ln x - 7)$，利用乘积法则：
$$
y' = 4x^{3}(12 \ln x - 7) + x^{4} \cdot \frac{12}{x}
= 4x^{3}(12 \ln x - 7) + 12x^{3}
$$
合并同类项：
$$
y' = 4x^{3}(12 \ln x - 7 + 3) = 4x^{3}(12 \ln x - 4)
= 16x^{3}(3 \ln x - 1)
$$

2. 求二阶导数
对 $y'$ 再次求导：
$$
y'' = 48x^{2}(3 \ln x - 1) + 16x^{3} \cdot \frac{3}{x}
= 48x^{2}(3 \ln x - 1) + 48x^{2}
$$
提取公因式：
$$
y'' = 48x^{2} \big( 3 \ln x - 1 + 1 \big) = 48x^{2} \cdot 3 \ln x = 144 x^{2} \ln x
$$

3. 分析凹凸性
因为 $x>0$，$144x^{2}>0$，所以 $y''$ 的符号完全由 $\ln x$ 决定：
- 当 $\ln x > 0$，即 $x > 1$ 时，$y'' > 0$，曲线是凹的（下凸）；
- 当 $\ln x < 0$，即 $0 < x < 1$ 时，$y'' < 0$，曲线是凸的（上凸）；
- 当 $\ln x = 0$，即 $x=1$ 时，$y''=0$，且左右两侧 $y''$ 变号，因此 $x=1$ 对应拐点。

4. 求拐点坐标
将 $x=1$ 代入原函数：
$$
y(1) = 1^{4}(12 \ln 1 - 7) = 1 \cdot (0 - 7) = -7
$$
所以拐点为 $(1, -7)$。

结论：
- 凹区间（下凸）：$(1, +\infty)$
- 凸区间（上凸）：$(0, 1)$
- 拐点：$(1, -7)$

\boxed{\text{凹区间：}(1,+\infty),\quad \text{凸区间：}(0,1),\quad \text{拐点：}(1,-7)}