人邮高数 第2章 第2-6-12题

[AI解答]

[AI解答]

我们需要确定曲线
$$y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$$
中的常数 $a,b,c,d$，满足以下条件：

1. 在 $x=-2$ 处有水平切线，即 $y'(-2)=0$。
2. 点 $(1,-10)$ 是曲线的拐点，即 $y''(1)=0$，且该点在曲线上：$y(1)=-10$。
3. 点 $(-2,44)$ 在曲线上：$y(-2)=44$。

第一步：求导数

一阶导数：
$$
y'(x) = 3a x^{2} + 2b x + c
$$

二阶导数：
$$
y''(x) = 6a x + 2b
$$

第二步：根据条件列出方程

条件1：在 $x=-2$ 处水平切线，即 $y'(-2)=0$：
$$
3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0
$$
$$
12a - 4b + c = 0 \quad\quad (1)
$$

条件2：$(1,-10)$ 是拐点，所以 $y''(1)=0$：
$$
6a(1) + 2b = 0
$$
$$
6a + 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad 3a + b = 0 \quad\quad (2)
$$
同时该点在曲线上：
$$
a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = -10
$$
$$
a + b + c + d = -10 \quad\quad (3)
$$

条件3：点 $(-2,44)$ 在曲线上：
$$
a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + d = 44
$$
$$
-8a + 4b - 2c + d = 44 \quad\quad (4)
$$

第三步：解方程组

由(2)得：
$$
b = -3a
$$

代入(1)：
$$
12a - 4(-3a) + c = 0
$$
$$
12a + 12a + c = 0
$$
$$
24a + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = -24a
$$

将 $b=-3a$，$c=-24a$ 代入(3)：
$$
a + (-3a) + (-24a) + d = -10
$$
$$
a - 3a - 24a + d = -10
$$
$$
-26a + d = -10 \quad\Rightarrow\quad d = 26a - 10
$$

将 $b=-3a$，$c=-24a$，$d=26a-10$ 代入(4)：
$$
-8a + 4(-3a) - 2(-24a) + (26a - 10) = 44
$$
$$
-8a -12a + 48a + 26a - 10 = 44
$$
合并 $a$ 的系数：
$$
(-8 -12 + 48 + 26)a = 54a
$$
所以：
$$
54a - 10 = 44
$$
$$
54a = 54
$$
$$
a = 1
$$

于是：
$$
b = -3(1) = -3
$$
$$
c = -24(1) = -24
$$
$$
d = 26(1) - 10 = 16
$$

第四步：写出曲线方程

所求曲线为：
$$
\boxed{y = x^{3} - 3x^{2} - 24x + 16}
$$