人邮高数 第1章 第1-1-8题
📝 题目
8．设 $f(x)=\sqrt{\sin x}+2 \cos ^{2} x$ ，求 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right), f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知函数
$$
f(x)=\sqrt{\sin x}+2\cos^2 x
$$
我们分别代入 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ 和 $\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$ 计算。
**第一步：求 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)$**
代入得
$$
f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{\sin\frac{\pi}{2}}+2\cos^2\frac{\pi}{2}
$$
由于 $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}=1$，所以 $\displaystyle \sqrt{\sin\frac{\pi}{2}}=\sqrt{1}=1$；
又 $\displaystyle \cos\frac{\pi}{2}=0$，所以 $\displaystyle \cos^2\frac{\pi}{2}=0$。
因此
$$
f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+2\times0=1
$$
**第二步：求 $\displaystyle f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$**
代入得
$$
f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)}+2\cos^2\left(-\frac{\pi}{2}\right)
$$
由于 $\displaystyle \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$，而 $\sqrt{-1}$ 在实数范围内无意义（负数不能开平方），因此 $\displaystyle f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ 在实数范围内无定义。
答案
$$
\boxed{f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad f\left(-\frac{\pi}{2}\right)\text{无实数意义}}
$$