人邮高数 第2章 第2-7-20题

[AI解答]

[AI解答]

解：
已知椭圆参数方程
$$
\begin{cases}
x = a\cos t, \\
y = b\sin t,
\end{cases}
$$
点 $(0,b)$ 对应参数 $t = \dfrac{\pi}{2}$。

首先计算一阶导数：
$$
x'(t) = -a\sin t,\quad y'(t) = b\cos t.
$$
在 $t = \dfrac{\pi}{2}$ 处：
$$
x'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a,\quad y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.
$$

再计算二阶导数：
$$
x''(t) = -a\cos t,\quad y''(t) = -b\sin t.
$$
在 $t = \dfrac{\pi}{2}$ 处：
$$
x''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0,\quad y''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -b.
$$

由参数方程曲率公式：
$$
\kappa = \frac{|x'y'' - x''y'|}{\bigl[(x')^2 + (y')^2\bigr]^{3/2}}.
$$

代入数值：
$$
x'y'' - x''y' = (-a)(-b) - (0)(0) = ab,
$$
$$
(x')^2 + (y')^2 = (-a)^2 + 0^2 = a^2.
$$

因此：
$$
\kappa = \frac{|ab|}{(a^2)^{3/2}} = \frac{ab}{a^3} = \frac{b}{a^2}.
$$

曲率半径 $R$ 为曲率的倒数：
$$
R = \frac{1}{\kappa} = \frac{a^2}{b}.
$$

最终结果：
$$
\boxed{\kappa = \dfrac{b}{a^2},\quad R = \dfrac{a^2}{b}}.
$$