人邮高数 第2章 第2-7-4题

[AI解答]

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问题：求内接于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的面积最大的矩形的各边之长。

解：
设矩形在第一象限的顶点坐标为 $(x, y)$，其中 $x > 0,\ y > 0$，且满足椭圆方程
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
$$
由对称性，矩形四个顶点分别为 $(\pm x, \pm y)$，因此矩形的边长分别为 $2x$ 和 $2y$，其面积为
$$
S = (2x)(2y) = 4xy.
$$
由椭圆方程解出
$$
y = b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}},\quad 0 < x < a.
$$
代入面积表达式得
$$
S(x) = 4x \cdot b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}} = 4b\, x\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}.
$$
为求最大值，考虑函数
$$
f(x) = x\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}},\quad 0 < x < a.
$$
为简化计算，考虑平方后的函数（单调性相同）：
$$
g(x) = f^{2}(x) = x^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right) = x^{2} - \frac{x^{4}}{a^{2}}.
$$
对 $g(x)$ 求导：
$$
g'(x) = 2x - \frac{4x^{3}}{a^{2}} = 2x\left(1 - \frac{2x^{2}}{a^{2}}\right).
$$
令 $g'(x)=0$，得
$$
1 - \frac{2x^{2}}{a^{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2} = \frac{a^{2}}{2},\quad x = \frac{a}{\sqrt{2}}.
$$
代入椭圆方程求对应的 $y$：
$$
\frac{(a/\sqrt{2})^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \quad\Rightarrow\quad y^{2} = \frac{b^{2}}{2},\quad y = \frac{b}{\sqrt{2}}.
$$
因此矩形边长分别为
$$
2x = \sqrt{2}\,a,\qquad 2y = \sqrt{2}\,b.
$$
由二阶导数或函数性态可知，该点为最大值点。

结论：面积最大的内接矩形边长分别为 $\sqrt{2}\,a$ 和 $\sqrt{2}\,b$。

难度：★★☆☆☆