人邮高数 第2章 第2-7-3题
📝 题目
3．已知铁路 $A B$ 长为 100 km ，工厂 $C$ 距 $A 20 \mathrm{~km}$ ，现要在铁路线上选一点 $D$ ，向工厂修筑公路．已知铁路与公路每千米费用之比为 $3: 5$ ，为使货物从 $B$ 到 $C$ 的运费最省，求 $D$ 的位置．
💡 答案解析
[AI解答]
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问题分析
设铁路线为直线段 $AB$，长度 $100\ \mathrm{km}$，工厂 $C$ 位于距离 $A$ 点 $20\ \mathrm{km}$ 处，且 $C$ 不在铁路上，因此可认为 $AC$ 垂直于铁路（通常此类问题假设垂直，否则需补充夹角，但按常规理解，$C$ 到铁路的垂足为 $A$，即 $AC \perp AB$）。
设 $D$ 为铁路上的某一点，距离 $A$ 为 $x\ \mathrm{km}$，则 $AD = x$，$DB = 100 - x$。
公路从 $C$ 修到 $D$，距离为
$$
CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{20^2 + x^2} = \sqrt{400 + x^2}.
$$
设铁路每千米运费为 $3k$，公路每千米运费为 $5k$（$k>0$ 为比例常数），则总运费
$$
F(x) = 3k \cdot DB + 5k \cdot CD = 3k(100 - x) + 5k\sqrt{400 + x^2}.
$$
由于 $k>0$ 不影响最值点，可令
$$
f(x) = 3(100 - x) + 5\sqrt{400 + x^2}, \quad 0 \le x \le 100.
$$
求导找极值
$$
f'(x) = -3 + 5 \cdot \frac{x}{\sqrt{400 + x^2}}.
$$
令 $f'(x)=0$：
$$
-3 + \frac{5x}{\sqrt{400 + x^2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{5x}{\sqrt{400 + x^2}} = 3.
$$
两边平方：
$$
\frac{25x^2}{400 + x^2} = 9 \quad\Rightarrow\quad 25x^2 = 9(400 + x^2) = 3600 + 9x^2.
$$
$$
16x^2 = 3600 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 225 \quad\Rightarrow\quad x = 15\ (\text{取正值}).
$$
即 $AD = 15\ \mathrm{km}$。
验证最值
计算端点值：
$f(0) = 3\times 100 + 5\times 20 = 300 + 100 = 400$，
$f(100) = 3\times 0 + 5\sqrt{400+10000} = 5\sqrt{10400} \approx 5\times 101.98 = 509.9$，
而
$f(15) = 3\times 85 + 5\sqrt{400+225} = 255 + 5\times 25 = 255 + 125 = 380$，
显然 $f(15)$ 最小。
结论
$D$ 应选在距 $A$ 点 $15\ \mathrm{km}$ 处。
难度：★★☆☆☆