人邮高数 第2章 第2-7-27题
📝 题目
27．飞机沿抛物线 $y=x^{2} / 4000$（单位为 m ）俯冲飞行，在原点处速度为 $v=400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，飞行员体重为 70 kg ．求俯冲到原点时，飞行员对座椅的压力。
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 导数与微分 & \begin{tabular}{l}
理解导数与微分的概念、几何意义、物理意义 \\
会求导基本公式、四则运算、复合函数隐函数、反函数、参数方程求导及高阶导数 \\
会求平面曲线的切线与法线方程
\end{tabular} \\
\hline 微分中值定理 & \begin{tabular}{l}
理解 Roll、 Lagrange、 Cauchy、Taylor 定理 \\
会用定理证明相关问题 \\
会用洛必达法则求不定式的极限
\end{tabular} \\
\hline 应用 & 会用导数求单调性与极值、最值、凹凸性、渐进线等问题，能画简图会计算曲率（半径） \\
\hline
\end{tabular}
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
本题要求飞机沿抛物线 $y = \frac{x^2}{4000}$ 俯冲，在原点处速度 $v = 400 \, \text{m/s}$，飞行员质量 $m = 70 \, \text{kg}$，求此时飞行员对座椅的压力。
步骤1：确定运动轨迹的曲率半径
抛物线方程：
$$
y = \frac{x^2}{4000}
$$
一阶导数：
$$
y' = \frac{2x}{4000} = \frac{x}{2000}
$$
二阶导数：
$$
y'' = \frac{1}{2000}
$$
在原点 $x = 0$ 处：
$$
y'(0) = 0, \quad y''(0) = \frac{1}{2000}
$$
曲率公式：
$$
K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}
$$
代入原点处：
$$
K = \frac{\frac{1}{2000}}{(1 + 0)^{3/2}} = \frac{1}{2000}
$$
曲率半径：
$$
\rho = \frac{1}{K} = 2000 \, \text{m}
$$
步骤2：分析受力情况
飞机在原点处做圆周运动（曲率半径 $\rho = 2000 \, \text{m}$），飞行员受到重力 $mg$ 和座椅支持力 $N$。由于是俯冲，在轨迹最低点（原点处），支持力与重力方向相反，合力提供向心力：
$$
N - mg = m \frac{v^2}{\rho}
$$
因此：
$$
N = mg + m \frac{v^2}{\rho}
$$
步骤3：代入数值计算
已知：
$$
m = 70 \, \text{kg}, \quad g = 9.8 \, \text{m/s}^2, \quad v = 400 \, \text{m/s}, \quad \rho = 2000 \, \text{m}
$$
计算：
$$
mg = 70 \times 9.8 = 686 \, \text{N}
$$
$$
\frac{v^2}{\rho} = \frac{400^2}{2000} = \frac{160000}{2000} = 80 \, \text{m/s}^2
$$
$$
m \frac{v^2}{\rho} = 70 \times 80 = 5600 \, \text{N}
$$
所以：
$$
N = 686 + 5600 = 6286 \, \text{N}
$$
步骤4：根据牛顿第三定律
飞行员对座椅的压力大小等于座椅对飞行员的支持力，方向向下（指向座椅），即：
$$
F_{\text{压力}} = 6286 \, \text{N}
$$
最终答案：
$$
\boxed{6286\ \mathrm{N}}
$$
难度：★★☆☆☆